真题库

设$A$，$B$为随机事件，且$P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B|A)=\frac{1}{3}$，$P(A|B)=\frac{1}{2}$。令$X=\{\begin{array}{ll}1,& A\text{发生},\\ 0,& A\text{不发生};\end{array}Y=\{\begin{array}{ll}1,& B\text{发生},\\ 0,& B\text{不发生}.\end{array}$求：

设随机变量$X$的分布函数为$F(x;\alpha ,\beta )=\{\begin{array}{ll}1-(\frac{\alpha }{x}{)}^{\beta },& x>\alpha ,\\ 0,& x\le \alpha ,\end{array}$其中参数$\alpha >0,\beta >1$。设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本，

设随机变量$X$在区间$(0,1)$上服从均匀分布，在$X=x$（$0<x<1$）的条件下，随机变量$Y$在区间$(0,x)$上服从均匀分布，求：

$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{\ln (1+x^2)}}=$ 。

曲面$z=x^2+y^2$与平面$2x+4y-z=0$平行的切平面的方程是 。

设$x^2=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\cos nx(-\pi \le x\le \pi )$，则$a_2=$ 。

从$R^2$的基${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$到基${\beta }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\beta }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$的过渡矩阵为 。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}6x,& 0\le x\le y\le 1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$，则$P\{X+Y\le 1\}=$ 。

已知一批零件的长度$X$（单位：cm）服从正态分布$N(\mu ,1)$，从中随机抽取$16$个零件，得到长度的平均值为$40\mathrm{cm}$，则$\mu$的置信度为$0.95$的置信区间是 。（注：标准正态分布函数值$\Phi (1.96)=0.975$，$\Phi (1.645)=0.95$。）

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，其导函数的图形如图所示，则$f(x)$有（　　）。

设$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$均为非负数列，且$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=1$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\infty$，则必有（　　）。

已知函数$f(x,y)$在点$(0,0)$的某个邻域内连续，且$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2{)}^2}=1$，则（　　）。

设向量组 I：${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$可由向量组 II：${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$线性表示，则（　　）。

设有齐次线性方程组$Ax=0$和$Bx=0$，其中$A$和$B$均为$m\times n$矩阵，现有四个命题：①若$Ax=0$的解均是$Bx=0$的解，则$r(A)\ge r(B)$；②若$r(A)\ge r(B)$，则$Ax=0$的解均是$Bx=0$的解；③若$Ax=0$与$Bx=0$同解，则$r(A)=r(B)$；④若$r(A)=r(B)$，则$Ax=0$与$Bx=0$同解。以上命题中正确的是（　　）。

设随机变量$X\sim t(n)(n>1)$，$Y=\frac{1}{X^2}$，则（　　）。

过坐标原点作曲线$y=\ln x$的切线，该切线与曲线$y=\ln x$及$x$轴围成平面图形$D$

将函数$f(x)=\arctan \frac{1-2x}{1+2x}$展开成$x$的幂级数，并求级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$的和。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le \pi ,0\le y\le \pi \}$，$L$为$D$的正向边界。试证：

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为$k$，$k>0$）。汽锤第一次击打将桩打进地下$a$米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数$r(0<r<1)$。问

设函数$y=y(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内具有二阶导数，且$y^{\prime }\ne 0$，$x=x(y)$是$y=y(x)$的反函数。