真题库

设函数$f(x)$连续且恒大于零，$F(t)=\frac{{\iiint }_{\Omega (t)}f(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}V}{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }$，$G(t)=\frac{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }{{\int }_{-t}^{t}f(x^2)\mathrm{d}x}$，其中$\Omega (t)=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le t^2\}$，$D(t)=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le t^2\}$

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ 2& 3& 2\\ 2& 2& 3\end{array}\right)$，$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$B=P^{-1}{A}^{\ast }P$，求$B+2E$的特征值与特征向量，其中$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵，$E$为$3$阶单位矩阵。

已知平面上三条不同直线的方程分别为$l_1:ax+2by+3c=0,l_2:bx+2cy+3a=0,l_3:cx+2ay+3b=0$。试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为$a+b+c=0$。

已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有$3$件合格品和$3$件次品，乙箱中仅装有$3$件合格品。从甲箱中任取$3$件产品放入乙箱后，求：

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{-2(x-\theta )},& x>\theta ,\\ 0,& x\le \theta ,\end{array}$其中$\theta >0$是未知参数。从总体$X$中抽取简单随机样本$X_1,X_2,\cdots ,X_n$，记$\hat{\theta }=\min (X_1,X_2,\cdots ,X_n)$。

若$x\to 0$时，$(1-a{x}^2{)}^{\frac{1}{4}}-1$与$x\sin x$是等价无穷小，则$a=$ 。

设函数$y=f(x)$由方程$xy+2\ln x=y^4$所确定，则曲线$y=f(x)$在点$(1,1)$处的切线方程是 。

$y=2^x$的麦克劳林公式中$x^n$项的系数是 。

设曲线的极坐标方程为$\rho ={\mathrm{e}}^{a\theta }(a>0)$，则该曲线上相应于$\theta$从$0$变到$2\pi$的一段弧与极轴所围成图形的面积为 。

设$\alpha$为$3$维列向量，${\alpha }^T$是$\alpha$的转置。若$\alpha {\alpha }^T=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$，则${\alpha }^T\alpha =$ 。

设三阶方阵$A,B$满足$A^{2}B-A-B=E$，其中$E$为三阶单位矩阵，若$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right)$，则$|B|=$ 。

设$a_n=\frac{3}{2}{\int }_0^{\frac{n}{n+1}}{x}^{n-1}\sqrt{1+x^n}\mathrm{d}x$，则极限$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$等于（　　）。

已知$y=\frac{x}{\ln x}$是微分方程$y^{\prime }=\frac{y}{x}+\varphi (\frac{x}{y})$的解，则$\varphi (\frac{x}{y})$为（　　）。

设$I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\tan x}{x}\mathrm{d}x$，$I_2={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{\tan x}\mathrm{d}x$，则（　　）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1+a{x}^3)}{x-\arcsin x},& x<0,\\ 6,& x=0,\\ \frac{{\mathrm{e}}^{ax}+x^2-ax-1}{x\sin \frac{x}{4}},& x>0.\end{array}$

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=1+2t^2,\\ y={\int }_1^{1+2\ln t}\frac{{\mathrm{e}}^u}{u}\mathrm{d}u\end{array}(t>1)$所确定，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=9}$。

计算不定积分$\int \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x$。

讨论曲线$y=4\ln x+k$与$y=4x+{\ln }^{4}x$的交点个数。

设位于第一象限的曲线$y=f(x)$过点$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$，其上任一点$P(x,y)$处的法线与$y$轴交于$Q$，且线段$PQ$被$x$轴平分。

有一平底容器，其内侧壁由曲线$x=\varphi (y)(y\ge 0)$绕$y$轴旋转而成，底面圆半径为$2\mathrm{m}$。以$\frac{3{\mathrm{m}}^3}{\min }$速率注入液体时，液面面积以$\frac{\pi {\mathrm{m}}^2}{\min }$速率均匀扩大。