真题库

假设某种商品的需求量$Q$是单价$p$（单位：元）的函数：$Q=12000-80p$；商品的总成本$C$是需求量$Q$的函数：$C=25000+50Q$；每单位商品需要纳税$2$元。

由曲线$y=x^2-2x,y=0,x=1,x=3$围成一个平面图形。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续、单调不减且$f(0)\ge 0$。定义$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}{\int }_0^x{t}^{n}f(t)\mathrm{d}t,& x>0\\ 0,& x=0\end{array}$，其中$n>0$。

从点$P_1(1,0)$作$x$轴的垂线，交抛物线$y=x^2$于点$Q_1(1,1)$；再从$Q_1$作这条抛物线的切线与$x$轴交于$P_2$，然后又从$P_2$作$x$轴的垂线，交抛物线于$Q_2$，依次重复上述过程得到一系列的点$P_1,Q_1;P_2,Q_2;\dots ;P_n,Q_n;\dots$。其中$n\ge 1$为自然数，而$\overline{M_1{M}_2}$表示点$M_1$与$M_2$之间的距离。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，且$F(x)={\int }_0^x(x-2t)f(t)\mathrm{d}t$。

设函数$f(t)$在$[0,+\infty )$上连续，且满足方程$f(t)={\mathrm{e}}^{4\pi t^2}+{\iint }_{x^2+y^2\le 4t^2}f(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，求$f(t)$。

设$D$是以点$O(0,0),A(1,2),B(2,1)$为顶点的三角形区域，求${\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$A$为$n$阶非奇异矩阵，$\alpha$为$n$维列向量，$b$为常数。记分块矩阵$P=\left(\begin{array}{cc}E& 0\\ -{\alpha }^T{A}^{\ast }& |A|\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& b\end{array}\right)$，其中$A^{\ast }$是矩阵$A$的伴随矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵。

设三阶实对称矩阵$A$的特征值是$1,2,3$；矩阵$A$的属于特征值$1,2$的特征向量分别是${\alpha }_1=(-1,-1,1{)}^T,{\alpha }_2=(1,-2,-1{)}^T$。

设矩阵$A$和$B$相似，且$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 4& -2\\ -3& -3& a\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right)$。

假设随机变量$X$的绝对值不大于$1$；$P\{X=-1\}=\frac{1}{8},P\{X=1\}=\frac{1}{4}$；在事件$\{-1<X<1\}$出现的条件下，$X$在$(-1,1)$内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。

假设随机变量$X$的绝对值不大于$1$；$P\{X=-1\}=\frac{1}{8},P\{X=1\}=\frac{1}{4}$；在事件$\{-1<X<1\}$出现的条件下，$X$在$(-1,1)$内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。试求$X$的分布函数$F(x)=P\{X\le x\}$。

游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第$5$分钟、第$25$分钟和第$55$分钟从底层起行。假设一游客在早晨八点的第$X$分钟到达底层候梯处，且$X$在$[0,60]$上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。

假设随机变量$Y$服从参数为$\lambda =1$的指数分布，随机变量$X_k=\{\begin{array}{ll}0,& Y\le k\\ 1,& Y>k\end{array}$（$k=1,2$）。

两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为$5$的指数分布，且两台记录仪的无故障工作时间相互独立；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。记两台记录仪无故障工作的总时间为$T$。

设$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x+2a}{x-a}{)}^x=8$，则$a=$ 。

设一平面经过原点及点$(6,-3,2)$，且与平面$4x-y+2z=8$垂直，则此平面方程为 。

微分方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y={\mathrm{e}}^x$的通解为 。

函数$u=\ln (x+\sqrt{y^2+z^2})$在$A(1,0,1)$点处沿从$A$点指向$B(3,-2,2)$点方向的方向导数为 。

设$A$是$4\times 3$矩阵，且$r(A)=2$，而$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)$，则$r(AB)=$ 。