真题库

已知$\frac{(x+ay)\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{(x+y{)}^2}$为某函数的全微分，则$a$等于（　　）。

设$f(x)$有二阶连续导数，且$f^{\prime }(0)=0,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{|x|}=1$，则（　　）。

设$a_n>0$（$n=1,2,\cdots$），且$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛，常数$\lambda \in (0,\frac{\pi }{2})$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n(n\tan \frac{\lambda }{n})a_{2n}$（　　）。

设$f(x)$有连续的导数，$f(0)=0,f^{\prime }(0)\ne 0,F(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f(t)\mathrm{d}t$，且当$x\to 0$时，$F^{\prime }(x)$与$x^k$是同阶无穷小，则$k$等于（　　）。

四阶行列式$\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& 0& b_1\\ 0& a_2& b_2& 0\\ 0& b_3& a_3& 0\\ b_4& 0& 0& a_4\end{array}\right|$的值等于（　　）。

求心形线$r=a(1+\cos \theta )$的全长，其中$a>0$是常数。

设$x_1=10,x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$（$n=1,2,\cdots$），试完成下列各问：

计算曲面积分${\iint }_S[(2x+z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y]$，其中$S$为有向曲面$z=x^2+y^2$（$0\le z\le 1$），其法向量与$z$轴正向的夹角为锐角。

设变换$\{\begin{array}{l}u=x-2y\\ v=x+ay\end{array}$可把方程$6\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$化简为$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u\partial v}=0$，求常数$a$，其中$z=z(x,y)$有二阶连续的偏导数。

求级数$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{(n^2-1)2^n}$的和。

设对任意$x>0$，曲线$y=f(x)$上点$(x,f(x))$处的切线在$y$轴上的截距等于$\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，求$f(x)$的一般表达式。

设$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，且满足条件$|f(x)|\le a,|f^{\prime \prime }(x)|\le b$，其中$a,b$都是非负常数，$c$是$(0,1)$内任一点，证明$|f^{\prime }(c)|\le 2a+\frac{b}{2}$。

设$A=E-\xi {\xi }^T$，其中$E$是$n$阶单位矩阵，$\xi$是$n$维非零列向量，${\xi }^T$是$\xi$的转置。证明：

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+c{x}_3^2-2x_1{x}_2+6x_1{x}_3-6x_2{x}_3$的秩为$2$。完成下列各问：

设工厂$A$和工厂$B$的产品的次品率分别为$1\%$和$2\%$，现从由$A$和$B$的产品分别占$60\%$和$40\%$的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属$A$生产的概率是 。

设$\xi ,\eta$是两个相互独立且均服从正态分布$N(0,(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2)$的随机变量，则随机变量$|\xi -\eta |$的数学期望$E(|\xi -\eta |)=$ 。

设$\xi ,\eta$是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知$P\{\xi =i\}=\frac{1}{3},i=1,2,3$。又设$X=\max (\xi ,\eta ),Y=\min (\xi ,\eta )$。完成下列各问：

计算积分${\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x,x^2+y^2\le 2x\}$。

求齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_5=0\\ x_1+x_2-x_3=0\\ x_3+x_4+x_5=0\end{array}$的基础解系。

设$y=(x+{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}{)}^{\frac{2}{3}}$，则$y^{\prime }{|}_{x=0}=$ 。