真题库

设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\theta },& 0<x<\theta ,\\ \frac{1}{2(1-\theta )},& \theta \le x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$其中参数$\theta (0<\theta <1)$未知，$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，$\overline{X}$是样本均值。

函数$f(x)=\frac{({\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}+\mathrm{e})\tan x}{x({\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e})}$在$[-\pi ,\pi ]$上的第一类间断点是$x=$（　　）。

二元函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微的一个充分条件是（　　）。

设函数$f(x,y)$连续，则二次积分${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\mathrm{d}x{\int }_{\sin x}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y$等于（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-\sin x}{x^3}=$ 。

曲线$\{\begin{array}{l}x=\cos t+{\cos }^{2}t,\\ y=1+\sin t\end{array}$上对应于$t=\frac{\pi }{4}$的点处的法线斜率为 。

设函数$y=\frac{1}{2x+3}$，则$y^{(n)}(0)=$ 。

设$f(u,v)$是二元可微函数，$z=f(\frac{y}{x},\frac{x}{y})$，则$x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

设$f(x)$是区间$[0,\frac{\pi }{4}]$上的单调、可导函数，且满足${\int }_0^{f(x)}{f}^{-1}(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{x}t\frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}\mathrm{d}t$，其中$f^{-1}$是$f$的反函数，求$f(x)$。

设$D$是位于曲线$y=\sqrt{x}{a}^{-\frac{x}{(2a)}}(a>1,0\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界区域。

求微分方程$y^{\prime \prime }(x+y^{\prime 2})=y^{\prime }$满足初始条件$y(1)=y^{\prime }(1)=1$的特解。

已知函数$f(u)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(0)=1$，函数$y=y(x)$由方程$y-x{\mathrm{e}}^{y-1}=1$所确定。设$z=f(\ln y-\sin x)$，求：

设二元函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& |x|+|y|\le 1,\\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& 1<|x|+|y|\le 2,\end{array}$，计算二重积分${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$，其中$D=\{(x,y)\mid |x|+|y|\le 2\}$。

当$x\to 0^{+}$时，与$\sqrt{x}$等价的无穷小量是（　　）。

设某商品的需求函数为$Q=160-2p$，其中$Q,p$分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于$1$，则商品的价格是（　　）。

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}(\sin x+\cos x)=$ 。

微分方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}(\frac{y}{x}{)}^3$满足$y{|}_{x=1}=1$的特解为$y=$ 。

设函数$y=y(x)$由方程$y\ln y-x+y=0$确定，试判断曲线$y=y(x)$在点$(1,1)$附近的凹凸性。

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导且存在相等的最大值，又$f(a)=g(a),f(b)=g(b)$，证明：

设函数$f(x)$具有连续的一阶导数，且满足$f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t+x^2$，求$f(x)$的表达式。